ЯсноПонятно24

Чтобы определить, на какие из чисел 3, 8, 11, 100 делится число A, нужно воспользоваться правилом делимости.

1. Число 3: Поскольку 7 ≡ 1 (mod 3), то 7^k ≡ 1 (mod 3) для любого натурального k. Таким образом, A = 7 + 7^2 + 7^3 + ... + 7^690 ≡ 1 + 1 + 1 + ... + 1 (690 раз) ≡ 690 (mod 3). Так как 690 делится на 3, то и число A делится на 3.

2. Число 8: Поскольку 7 ≡ -1 (mod 8), то 7^k ≡ (-1)^k (mod 8) для любого натурального k. Таким образом, A = 7 + 7^2 + 7^3 + ... + 7^690 ≡ -1 + 1 - 1 + 1 - ... + 1 (345 раз) ≡ 0 (mod 8). Следовательно, число A делится на 8.

3. Число 11: Поскольку 7 ≡ -4 (mod 11), то 7^k ≡ (-4)^k (mod 11) для любого натурального k. Таким образом, A = 7 + 7^2 + 7^3 + ... + 7^690 ≡ -4 + 5 - 9 + 3 - ... + (-4)^690 (mod 11). Заметим, что (-4)^690 ≡ 4^690 ≡ 5 (mod 11). Таким образом, A ≡ -4 + 5 - 9 + 3 - ... + 5 (mod 11). После упрощения можно увидеть, что A ≡ 0 (mod 11). Следовательно, число A делится на 11.

4. Число 100: Поскольку 7 ≡ 7 (mod 100), то 7^k ≡ 7^k (mod 100) для любого натурального k. Таким образом, A = 7 + 7^2 + 7^3 + ... + 7^690 ≡ 7 + 49 + 43 + ... + 7^690 (mod 100). Для нахождения остатка от деления A на 100, нужно сложить только последние две цифры каждого слагаемого. Однако, для больших значений k, это может быть долгим процессом. Можно заметить, что 7^4 ≡ 1 (mod 100), поэтому 7^690 ≡ 7^2 (mod 100). Таким образом, A ≡ 7 + 49 + 43 + 1 (mod 100) ≡ 0 (mod 100). Следовательно, число A делится на 100.

Итак, число A делится на 3, 8, 11 и 100.