ЯсноПонятно24

Чтобы определить, на какие из чисел 3, 8, 11, 100 делится число а=7+7^2+7^3+…+7^200, нужно рассмотреть остатки от деления этого числа на каждое из данных чисел.

1. Остаток от деления а на 3: 7^1 ≡ 1 (mod 3) 7^2 ≡ 1 (mod 3) 7^3 ≡ 1 (mod 3) ... Таким образом, каждое слагаемое а сравнимо с 1 по модулю 3, а значит, сумма а также сравнима с 1 по модулю 3. Следовательно, число а делится на 3.

2. Остаток от деления а на 8: 7^1 ≡ 7 (mod 8) 7^2 ≡ 1 (mod 8) 7^3 ≡ 7 (mod 8) ... Таким образом, каждое второе слагаемое а сравнимо с 1 по модулю 8, а каждое четвертое - с 7. Поскольку 200 делится на 4, то сумма а сравнима с 1 + 7 + 1 + 7 + ... = 4 (mod 8). Следовательно, число а не делится на 8.

3. Остаток от деления а на 11: 7^1 ≡ 7 (mod 11) 7^2 ≡ 5 (mod 11) 7^3 ≡ 2 (mod 11) ... Таким образом, остатки от деления слагаемых а на 11 образуют периодическую последовательность: 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8, 7, ... Поскольку 200 делится на 10, то сумма а сравнима с суммой первых 10 слагаемых, которая равна 7 + 5 + 2 + 3 + 10 + 4 + 6 + 9 + 8 + 7 = 61 (mod 11). Следовательно, число а не делится на 11.

4. Остаток от деления а на 100: Для определения остатка от деления а на 100 нужно рассмотреть последние две цифры суммы а. Поскольку 7^2 = 49, то все последующие степени числа 7 заканчиваются на 49. Таким образом, сумма а будет заканчиваться на 49, что означает, что число а не делится на 100.

Итак, число а=7+7^2+7^3+…+7^200 делится только на 3.