ЯсноПонятно24

Для того чтобы определить, на какие из чисел 3, 8, 11, 100 делится число A=7+7²+7³+…+7^690, нужно посмотреть на остаток от деления этой суммы на каждое из этих чисел.

1. Деление на 3: Сумма всех степеней числа 7 будет иметь вид 7+7²+7³+…, что эквивалентно 7*(1+7+7²+…). Заметим, что в скобках стоит бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем 7. Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S = a / (1 - q), где a - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии. Подставим значения и получим: S = 1 / (1 - 7) = -1/6. Таким образом, сумма всех степеней числа 7 делится на 3, так как -1/6 делится на 3 без остатка.

2. Деление на 8: Сумма всех степеней числа 7 будет иметь вид 7+7²+7³+…, что эквивалентно 7*(1+7+7²+…). Аналогично предыдущему пункту, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем 7 равна -1/6. Так как -1/6 не делится на 8 без остатка, то число A=7+7²+7³+…+7^690 не делится на 8.

3. Деление на 11: Для определения деления на 11 можно воспользоваться малой теоремой Ферма: a^(p-1) ≡ 1 (mod p), где a - целое число, p - простое число, а ≡ обозначает сравнимость по модулю. В данном случае a = 7, p = 11. Поскольку 7^10 ≡ 1 (mod 11), то 7^690 = (7^10)^69 ≡ 1^69 = 1 (mod 11). Таким образом, число A=7+7²+7³+…+7^690 делится на 11.

4. Деление на 100: Для определения деления на 100 можно рассмотреть последние две цифры числа A. Поскольку 7^690 имеет последние две цифры 01 (так как 7^4 = 2401), то сумма всех степеней числа 7 оканчивается на 01. Таким образом, число A=7+7²+7³+…+7^690 делится на 100.

Итак, число A=7+7²+7³+…+7^690 делится на 3, 11 и 100, но не делится на 8.