ЯсноПонятно24

Для начала докажем включение одной стороны в другую:

Пусть x принадлежит (A∩B) U C. Тогда x принадлежит A∩B или x принадлежит C.

Если x принадлежит A∩B, то x принадлежит и A, и B. Таким образом, x принадлежит A U C и x принадлежит B U C. Следовательно, x принадлежит (A U C) ∩ (B U C).

Если x принадлежит C, то x принадлежит A U C и x принадлежит B U C. Следовательно, x принадлежит (A U C) ∩ (B U C).

Таким образом, любой элемент из (A∩B) U C принадлежит (A U C) ∩ (B U C), что означает, что (A∩B) U C включено в (A U C) ∩ (B U C).

Теперь докажем обратное включение:

Пусть x принадлежит (A U C) ∩ (B U C). Тогда x принадлежит и A U C, и B U C.

Это означает, что x принадлежит A или x принадлежит C, и x принадлежит B или x принадлежит C.

Если x принадлежит A, то x принадлежит и A∩B, так как x также принадлежит B. Таким образом, x принадлежит (A∩B) U C.

Если x принадлежит C, то x принадлежит (A∩B) U C.

Таким образом, любой элемент из (A U C) ∩ (B U C) принадлежит (A∩B) U C, что означает, что (A U C) ∩ (B U C) включено в (A∩B) U C.

Таким образом, мы доказали равенство (A∩B) U C = (A U C) ∩ (B U C) аналитическим способом.