ЯсноПонятно24

Для исследования на сходимость данного ряда воспользуемся признаком Д'Аламбера.

Рассмотрим отношение двух последовательных членов ряда: a_n = sqrt(n)*ln((n^2 + 1)/(n^2 - 1)) a_{n+1} = sqrt(n+1)*ln(((n+1)^2 + 1)/((n+1)^2 - 1))

Вычислим предел отношения a_{n+1}/a_n при n стремящемся к бесконечности: lim (n->inf) (a_{n+1}/a_n) = lim (n->inf) [(sqrt(n+1)*ln(((n+1)^2 + 1)/((n+1)^2 - 1)) / (sqrt(n)*ln((n^2 + 1)/(n^2 - 1)))] = lim (n->inf) [(sqrt(n+1)/sqrt(n)) * ln(((n+1)^2 + 1)/((n+1)^2 - 1)) / ln((n^2 + 1)/(n^2 - 1))] = lim (n->inf) [(sqrt(n+1)/sqrt(n)) * ln((n^2 + 2n + 1 + 1)/(n^2 + 2n + 1 - 1)) / ln((n^2 + 1)/(n^2 - 1))] = lim (n->inf) [(sqrt(n+1)/sqrt(n)) * ln((n^2 + 2n + 2)/(n^2 + 2n)) / ln((n^2 + 1)/(n^2 - 1))] = lim (n->inf) [(sqrt(n+1)/sqrt(n)) * ln(1 + 2/n + 2/n^2) / ln(1 + 1/n^2)] = 1

Так как предел отношения a_{n+1}/a_n равен 1, то признак Д'Аламбера не дает нам информации о сходимости ряда.

Для дальнейшего исследования сходимости ряда можно воспользоваться другими признаками, например, признаком сравнения или признаком Коши.