ЯсноПонятно24

Для начала исследуем на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд с неотрицательными членами:

a_n = |(-1)^n / (sqrt(n)*ln(n))| = 1 / (sqrt(n)*ln(n))

Для исследования на сходимость данного ряда воспользуемся признаком Д'Аламбера:

lim (n→∞) |a_(n+1) / a_n| = lim (n→∞) |1 / (sqrt(n+1)*ln(n+1)) * (sqrt(n)*ln(n))| = lim (n→∞) |ln(n) / (sqrt(n+1)*ln(n+1))|

Далее, применим правило Лопиталя:

lim (n→∞) |ln(n) / (sqrt(n+1)*ln(n+1))| = lim (n→∞) |1 / ((sqrt(n+1) / n) * (1 / (ln(n+1) / ln(n)))|

После упрощения получаем:

lim (n→∞) |1 / ((sqrt(n+1) / n) * (1 / (ln(n+1) / ln(n)))| = lim (n→∞) |n / sqrt(n+1) * ln(n) / ln(n+1)| = 1

Так как предел равен 1, то признак Д'Аламбера не даёт нам информации о сходимости ряда. Попробуем исследовать ряд на условную сходимость.

Для этого рассмотрим знакочередующийся ряд:

b_n = (-1)^n / (sqrt(n)*ln(n))

Для исследования на условную сходимость воспользуемся признаком Лейбница. Проверим выполнение условий признака:

1. Последовательность b_n монотонно убывает: |b_(n+1)| <= |b_n| для всех n.

|b_(n+1)| = 1 / (sqrt(n+1)*ln(n+1)) <= 1 / (sqrt(n)*ln(n)) = |b_n|

2. Предел последовательности b_n равен 0: lim (n→∞) b_n = lim (n→∞) (-1)^n / (sqrt(n)*ln(n)) = 0.

Таким образом, условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится условно.