ЯсноПонятно24

Для того чтобы число $461^{588} - 459^y$ делилось на 7, необходимо, чтобы разность $461^{588}$ и $459^y$ делилась на 7.

Заметим, что $461 \equiv 2 \pmod{7}$ и $459 \equiv 6 \pmod{7}$.

Таким образом, $461^{588} \equiv 2^{588} \equiv 2^{588 \mod 6} \equiv 2^0 \equiv 1 \pmod{7}$

и $459^y \equiv 6^y \pmod{7}$.

Так как $y \geq 160$, то $6^y \equiv 6^{y \mod 6} \equiv 6^0 \equiv 1 \pmod{7}$.

Следовательно, $461^{588} - 459^y \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{7}$.

Наименьшее натуральное значение $y$, удовлетворяющее условию $y \geq 160$, равно 160.

Таким образом, $y = 160$.