ЯсноПонятно24

Для нахождения трех последних цифр числа 343^2967 можно воспользоваться методом повторяющихся остатков.

Сначала найдем повторяющийся остаток для числа 343 при возведении в степень:

343^1 = 343 (остаток: 343) 343^2 = 117649 (остаток: 649) 343^3 = 40353607 (остаток: 607) 343^4 = 1384128721 (остаток: 721) 343^5 = 4747561507 (остаток: 507) 343^6 = 162841359 (остаток: 359) ...

Мы видим, что остатки начинают повторяться после 4-й степени. Таким образом, мы можем найти остаток от деления 2967 на 4:

2967 mod 4 = 3

Теперь мы можем найти остаток от деления 343^2967 на 1000, используя найденный остаток и остаток 3:

343^2967 = 343^(4741 + 3) = (343^4)^741 * 343^3 = 721^741 * 607 = 721^(4185 + 1) * 607 = (721^4)^185 * 721 * 607 = 359^185 * 721 * 607 = 359^(446 + 1) * 721 * 607 = (359^4)^46 * 359 * 721 * 607 = 507^46 * 359 * 721 * 607 = 507^(411 + 2) * 359 * 721 * 607 = (507^4)^11 * 507^2 * 359 * 721 * 607 = 359^11 * 507^2 * 359 * 721 * 607 = 359^(42 + 3) * 507^2 * 359 * 721 * 607 = (359^4)^2 * 359^3 * 507^2 * 359 * 721 * 607 = 607^2 * 607 * 507^2 * 359 * 721 * 607 = 607^(43 + 3) * 507^2 * 359 * 721 * 607 = (607^4)^3 * 607^3 * 507^2 * 359 * 721 * 607 = 343^3 * 607^3 * 507^2 * 359 * 721 * 607 = 607 * 607^3 * 507^2 * 359 * 721 * 607 = 607^4 * 507^2 * 359 * 721 * 607 = 343 * 507^2 * 359 * 721 * 607 = 721 * 507^2 * 359 * 721 * 607 = 721^4 * 359 * 721 * 607 = 721 * 359 * 721 * 607 = 359 * 721 * 607 = 607

Таким образом, три последние цифры числа 343^2967 равны 607.