ЯсноПонятно24

Обозначим стороны треугольника как AB = x, BC = y, AC = z.

Так как BD:DC = 2:5, то можно представить BD = 2m и DC = 5m, где m - коэффициент пропорциональности.

Так как AK:KC = 1:3, то можно представить AK = m и KC = 3m.

Так как AD и BK - биссектрисы, то можно записать следующие уравнения:

AD/DC = AB/BC => x/5m = z/y => xy = 5mz

BK/KC = AB/AC => y/3m = x/z => yz = 3mx

Из уравнений xy = 5mz и yz = 3mx получаем, что 5mz = 3mx, откуда x/y = 5/3.

Так как периметр треугольника равен 26, то x + y + z = 26.

Зная, что x/y = 5/3, можем представить x = 5k и y = 3k, где k - коэффициент пропорциональности.

Тогда z = 26 - x - y = 26 - 5k - 3k = 26 - 8k.

Подставляем найденные значения x, y, z в уравнение xy = 5mz:

5k * 3k = 5m(26 - 8k)

15k^2 = 130m - 40mk

Так как k и m - целые числа, то m должно делиться на 15, а значит m = 15.

Подставляем m = 15 в уравнение 15k^2 = 130m - 40mk:

15k^2 = 13015 - 4015k

15k^2 = 1950 - 600k

15k^2 + 600k - 1950 = 0

k^2 + 40k - 130 = 0

(k + 50)(k - 10) = 0

k = 10 или k = -50 (отрицательное значение не подходит)

Таким образом, k = 10.

Следовательно, x = 5k = 50, y = 3k = 30, z = 26 - 8k = 26 - 80 = 18.

Ответ: стороны треугольника равны 50, 30, 18.