ЯсноПонятно24

Для вычисления несобственного интеграла данной функции сначала разложим знаменатель на множители:

x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9

Теперь проведем замену переменных:

y = x + 2 dy = dx

Получаем новый интеграл:

∫(y-2)/(y^2+9)^2 dy

Разложим дробь на простейшие дроби:

(y-2)/(y^2+9)^2 = A/(y^2+9) + B*y/(y^2+9) + C/(y^2+9)^2

Умножим обе части на (y^2+9)^2:

y - 2 = A(y^2+9) + By(y^2+9) + C

Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях y:

A = 0 B = 1/9 C = -2

Теперь можем вычислить интеграл:

∫(y-2)/(y^2+9)^2 dy = ∫(1/9)*y/(y^2+9) dy - 2∫1/(y^2+9)^2 dy

Первый интеграл можно вычислить как ln|y^2+9|/18, а второй интеграл можно вычислить с помощью метода подстановки.

Итак, итоговый ответ:

(1/18)*ln|y^2+9| + 1/27 * (y/(y^2+9)) - 2/9 * (y/(y^2+9)) + C

Вернемся к исходной переменной x:

(1/18)*ln|x^2+4x+13| + 1/27 * ((x+2)/(x^2+4x+13)) - 2/9 * ((x+2)/(x^2+4x+13)) + C

Теперь можно подставить пределы интегрирования и вычислить значение несобственного интеграла.