ЯсноПонятно24

Обозначим через $ABCD$ прямоугольник, где сторона $AB = 20$, а отрезок $EF = 16$. Пусть $O$ - центр окружности, касающейся сторон $AB$, $BC$ и $CD$, и пересекающей сторону $AD$. Так как отрезок $EF$ лежит внутри окружности, то точка $O$ лежит на отрезке $EF$.

Рассмотрим треугольник $OEF$. Так как $OE = 8$ (половина стороны $EF$), а $OF$ - радиус окружности, то по теореме Пифагора: $OF^2 = OE^2 + EF^2 = 8^2 + 16^2 = 64 + 256 = 320$ $OF = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$

Так как $OF$ - радиус окружности, а $AE = 10$ (половина стороны $AB$), то $OA = 8\sqrt{5} - 10$. Так как $OA$ - отрезок, проведенный из вершины прямоугольника к центру окружности, то он перпендикулярен стороне прямоугольника. Значит, треугольник $OAB$ - прямоугольный, и мы можем найти длину стороны $AD$: $AB^2 = OA^2 + OB^2$ $20^2 = (8\sqrt{5} - 10)^2 + OB^2$ $400 = 80 - 160\sqrt{5} + 100 + OB^2$ $OB^2 = 220 + 160\sqrt{5}$ $OB = \sqrt{220 + 160\sqrt{5}}$

Теперь можем найти площадь прямоугольника: $S = AB \cdot AD = 20 \cdot \sqrt{220 + 160\sqrt{5}}$

Таким образом, наименьшая возможная площадь прямоугольника равна 20\sqrt{220 + 160\sqrt{5}.